Bozorov Zavqiddin

Kvadrat tenglama[tahrirlash | manbasini tahrirlash]

Teorema

Agar{\displaystyle x^{2}+px+q=0\,}

keltirilgan kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega boʻlsa, u holda ularning yigʻindisi -pga, koʻpaytmasi esa qga teng boʻladi.

Yaʼni,{\displaystyle {\begin{cases}~x_{1}+x_{2}=-p\\~x_{1}x_{2}=q\end{cases}}}

 (1)

Keltirilgan kvadrat tenglama ildizlarining yigʻindisi qarama-qarshi ishora bilan olingan ikkinchi koeffitsiyentga, ildizlarining koʻpaytmasi esa ozod hadga teng.Misol{\displaystyle x^{2}-5x+6=0}

kvadrat tenglamasi berilgan boʻlsin. Bu tenglamada ikkiz ildiz, yaʼni {\displaystyle x_{1}} va {\displaystyle x_{2}} mavjud deb qaralsin. Viyet formulalariga koʻra, quyidagi munosabat toʻgʻri boʻlshi kerak:{\displaystyle {\begin{cases}~x_{1}+x_{2}=5\\~x_{1}x_{2}=6\end{cases}}}

Bu yerda ildizlarning koʻpaytmasi musbat son boʻlgani uchun ildizlar ham musbat sonlar ekanligini bilib olish mumkin. Ildizlar musbat butun sonlar deb tasavvur qilsak, faqat ikki holdagina koʻpaytma 6 ga teng boʻladi, yaʼni {\displaystyle 1*6=6} va {\displaystyle 2*3=6} hollarida. Viyet teoremasining ikkinchi sharti boʻyicha bu yerda ildizlar yigʻindisi 5 ga teng boʻlishi lozim. 1 bilan 6 ning yigʻindisi bu shartni qanoatlantirmaydi. Ammo 2 va 3 sonlarining yigʻindisi berilgan shartni qanoatlantiradi: {\displaystyle 2+3=5}. Demak, tenglamaning ildizlari 2 va 3 ga teng.

Isboti[tahrirlash | manbasini tahrirlash]

Viyet formulalarini quyidagi tenglikdan foydalanib isbotlash mumkin:{\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})}

.

Bu ifoda toʻgʻri, chunki {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} bu koʻphadning barcha ildizlaridir. Isbotlash uchun koʻphadni yoyish kerak. Keyin oʻng tomondagi faktorlarni koʻpaytirsh kerak. Soʻgnra {\displaystyle x}ning har bir darajasi koeffitsiyentlarini aniqlash kerak.

{\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n}),} ifodasini yoysak, hadlar {\displaystyle (-1)^{n-k}x_{1}^{b_{1}}\cdots x_{n}^{b_{n}}x^{k}} boʻladi. Bu yerda {\displaystyle x_{i}} koʻpaytmaga kiritilgan-kiritilmaganiga qarab {\displaystyle b_{i}} yoki 0, yoki 1 boʻladi. k boʻlsa kiritilmagan {\displaystyle x_{i}} larning sonidir. Shundan kelib chiqib, koʻpaytmadagi faktorlarning umumiy soni n dir. Bu yerda n ta binar tanlov boʻlgani uchun ({\displaystyle x_{i}} ni yoki x ni kiritish) {\displaystyle 2^{n}} ta had bor. Gemoterik jihatdan bu hadlarni giperkub uchlari deb tushunish mumkin.

Bu hadlarni daraja boʻylab guruhlash {\displaystyle x_{i}} dagi sodda simmetrik koʻphadlarini chiqaradi. Yaʼni, {\displaystyle x_{i}} ning k-karra bir-biridan farqli koʻpaytmalarini beradi.

Yana boshqa munosabatlar

Keltirilgan kvadrat tenglama{\displaystyle x^{2}+px+q=0\,}

ildizlari va koeffitsentlari oʻrtasidagi yana baʼzi munosobatlarni keltirib chiqaramiz. Ildizlar kvadratlarining yigʻindisini topamiz:{\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})-2x_{1}x_{2}=(x_{1}+x_{2})(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}.}

Endi (1) dan foydalanib quyidagicha yozamiz:{\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=p^{2}-2q.}

 (2)

Ildizlar kublarining yigʻindisini topamiz:{\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=(x_{1}+x_{2})(x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})=(x_{1}+x_{2})((x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}).}

(1) va (2) formulalardan foydalanib, quyidagicha yozamiz:{\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=-p(p^{2}-3q).}

Teskari teorema

Viyet teoremasiga teskari teorema oʻrinlidir.Teorema: Agar {\displaystyle x_{1}} va {\displaystyle x_{2}} sonlar shunday boʻlsaki, {\displaystyle x_{1}+x_{2}=-p}, {\displaystyle x_{1}x_{2}=q} boʻlsa, u holda {\displaystyle x_{1}} va {\displaystyle x_{2}} lar kvadrat tenglamaning ildizlaridan iborat boʻladi.

Bu teorema bir qator hollarda kvadrat tenglama ildizlarini ildizlar formulasidan foydalanmasdan topishga imkon beradi.

Uchinchi darajali tenglama[tahrirlash | manbasini tahrirlash]

Agar{\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}

 {\displaystyle p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}

 uchinchi darajali tenglama ildizlari boʻlsa, unda{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}-x_{2}-x_{3}={\frac {b}{a}}\\(x_{1}/x_{2}-x_{1}/x_{3}-x_{2}/x_{3})={\frac {c}{a}}\\x_{1}/x_{2}/x_{3}={\frac {d}{a}}\end{cases}}}